倒水的问题

这学期我们学习了容器过后，经常遇到2个不同容量的桶，要量出其他容量的水，比如通过一个7L和5L容量的桶，量出1L的水？
这个题很简单，我们可以通过以下步骤解决：

1. 先将5L的桶装满水，并倒入7L的桶中
2. 再将5L的桶装满水，再倒入7L的桶中，此时5L桶仅剩3L水
3. 把7L桶清空，并把5L桶中的3L水倒入7L桶中
4. 再将5L桶装满水，倒入7L桶中，此时7L桶仅剩4L空间，5L桶中就剩余1L水

通过以上操作，我们就用7L和5L容量的桶，量出1L的水。但是如果改变桶的容量，和需要量出来水的多少，有没有什么通用的方法？其实上面中，就是把两个数字不断加减得到第三个数字，上题中就是5L桶不断加水，7L桶不断清空，也就是5n-7m=1,其实就是解这个方程，其中n=2,m=3是其最小的整数解，也就是操作次数最少的。当n=10，m=7时其实也可以得到。通过以上方法，我们可以列出这种题目通用解放了，x y的桶量出z的液体，有：
nx-my=z
或者
my-nx=z
这样我们就可以寻找这些方程的整数解找出操作的方法。